Augstākā matemātika / Summaries, Notes / Math / ID: 895700

Table of contents

Nr.	Chapter	Page.
1.	Lineārā algebra	3
1.1.	Determinanti	3
1.2.	Matricas	6
1.3.	Lineāras vienādojumu sistēmas	9
1.3.1.	Krāmera formulas	9
1.3.2.	Matricu metode	10
1.3.3.	Gausa metode	12
1.3.4.	Pielietojuma piemēri ekonomikā	12
1.4.	Pielietojuma piemēri ekonomikā	13
1.4.1.	Matricu saskaitīšanu un reizināšanu ar skaitli	13
1.4.2.	Matricu reizināšana	14
1.4.3.	Lineāru vienādojumu sistēmu atrisināšana	14
2.	Ievads matemātikas analīzē	16
2.1.	Funkcijas	16
2.1.1.	Funkcijas jēdziens, definīcijas apgabals	16
2.1.2.	Elementāro funkciju grafiki	18
2.1.3.	Grafiku pārveidojumi	21
2.1.4.	Pielietojuma piemēri ekonomikā	24
2.2.	Robežas	27
2.2.1.	Robežas jēdziens	27
2.2.2.	Vienkāršākie robežu aprēķināšanas gadījumi	29
2.2.3.	Bezgalīgi mazi lielumi, bezgalīgi lieli lielumi	32
2.2.4.	Vienpusējās robežas	33
2.2.5.	Funkciju nepārtrauktība	36
3.	Funkcijas atvasinājums	38
3.1.	Jēdziens par funkcijas atvasinājumu	38
3.1.1.	Atvasinājuma definīcija	38
3.1.2.	Atvasināšanas likumi un formulas	40
3.2.	Funkcijas atvasinājums	46
3.2.1.	Saliktas funkcijas atvasinājums	46
3.2.2.	Augstāku kārtu atvasinājumi	49
3.2.3.	Funkcijas pieaugums un diferenciālis	50
3.2.4.	Lopitāla likums	53
3.3.	Atvasinājuma pielietojumi funkcijas pētīšanā	55
3.3.1.	Augšanas, dilšanas intervāli un ekstrēmi	55
3.3.2.	Funkcijas mazākā un lielākā vērtība slēgtā intervālā	58
3.3.3.	Ieliektības, izliektības intervāli un pārliekuma punkti	59
3.3.4.	Funkcijas grafika asimptotes	61
3.3.5.	Funkcijas pētīšanas shēma un grafika skice	63
3.4.	Atvasinājuma ekonomiskā interpretācija	65
3.4.1.	Marginālie lielumi	65
3.4.2.	Funkcijas elastība.	71
4.	DIFERENCIĀlrĒĶini.	75
4.1.	Jēdziens par nenoteikto integrāli.	75
4.1.1.	Primitīvā funkcija.	75
4.1.2.	Likumi un formulas.	76
4.2.	Integrēšanas metodes.	82
4.2.1.	Substitūciju metode.	82
4.2.2.	Parciālā integrēšana.	88
4.3.	Nenoteiktā integrāļa ekonomiskā interpretācija.	90
4.3.1.	Ražošanas izmaksu funkcija.	90
4.3.2.	Realizācijas ieņēmumu funkcija.	91
4.3.3.	Peļņas funkcija.	92
4.4.	Jēdziens par noteikto integrāli.	93
4.4.1.	Definīcija un īpašības.	93
4.4.2.	Ņūtona – Leibnica formula.	94
4.4.3.	Neīstie integrāļi.	96
4.5.	Noteiktā integrāļa pielietojumi.	100
4.5.1.	Plaknes figūras laukuma aprēķināšana.	100
4.5.2.	Pielietojumi ekonomikā.	105
5.	Divargumentu funkcijas.	110
5.1.	Definīcija un definīcijas apgabals.	110
5.2.	Parciālie atvasinājumi un pilnais diferenciālis.	112
5.3.	Divargumentu funkcijas ekstrēmi.	118

Extract

1. Lineārā algebra
1.1. Determinanti
Viens no lineārās algebras pamatjēdzieniem ir Determinanti. Iepazīsimies ar šo jēdzienu!
Ja dota kvadrātiska tabula
, kur a1, b1, a2, b2 ir skaitļi. Jebkuru šāda veida tabulu sauc par otrās kārtas kvadrātisku matricu, bet tajā ierakstītos skaitļus par matricas elementiem.
Elementi sakārtoti rindās un kolonnās. Rindas numurē no augšas uz leju, bet kolonnas – no kreisās puses uz labo.
Par otrās kārtas determinantu, kas atbilst dotajai matricai, sauc skaitli ∆, kas ir vienāds ar starpību a1b2 - a2b1.
Determinantu apzīmē sekojoši:
Skaitļus a1, b1, a2, b2 sauc par determinanta elementiem. To diagonāli, uz kuras atrodas elementi a1 un b2 sauc par determinanta galveno diagonāli, uz kuras atrodas elementi a2 un b1 – par palīgdiagonāli.
Aprēķināt determinantu
Izmantojot 1 formulu
Otrās kārtas determinanta pamatīpašības
1.Determinants savu vērtību nemaina, ja tajā rindas aizvieto ar kolonnām, bet kolonnas ar rindām
Šī īpašība izsaka determinanta rindu un kolonnu līdzvērtību, tādēļ visas pārējās īpašības ir formulētas tikai rindām.
2.Ja determinantā samaina vietām rindas (kolonnas), tad determinants maina zīmi
3.Ja visi kādas rindas (kolonnas) elementi satur kopēju reizinātāju, tad to var iznest ārpus determinanta zīmes
4.Ja dotajā determinantā kādas rindas (kolonnas) katrs elements ir divu saskaitāmo summa, tad šāds determinants ir vienāds ar divu determinantu summu. Vienā no determinantiem norādītās summas aizstātas ar pirmajiem saskaitāmajiem, bet otrajā ar otrajiem saskaitāmajiem.
Šī determinanta īpašība ir spēkā arī tajā gadījumā, kad kādas rindas (kolonnas) katrs elements ir nevis divu, bet vairāku saskaitāmo summa.
Trešās kārtas determinanti
Pieņemsim, ka dota kvadrātiska tabula,
kur a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3 ir dotie skaitļi. Jebkuru šāda veida tabulu sauc par trešās kārtas kvadrātisku matricu, bet tajā ierakstītos skaitļus par matricas elementiem.
Par trešās kārtas determinantu, kas atbilst dotajai matricai, sauc skaitli
Piemēram:
Aprēķināt determinantu
Izmantojot 2 formulu
Trešās kārtas determinanta pamatīpašības
Trešās kārtas determinantiem ir tādas pašas īpašības, kādas piemīt otrās kārtas determinantiem.
1.Determinants savu vērtību nemaina, ja tajā rindas aizvieto ar kolonnām, bet kolonnas ar rindām
2.Ja determinantā samaina vietām kādas divas rindas (kolonnas), tad determinants maina zīmi
3.Ja visi kādas rindas (kolonnas) elementi satur kopēju reizinātāju, tad to var iznest ārpus determinanta zīmes
4.Ja dotajā determinantā kādas rindas (kolonnas) katrs elements ir divu saskaitāmo summa, tad šāds determinants ir vienāds ar divu determinantu summu. Vienā no determinantiem norādītās summas aizstātas ar pirmajiem saskaitāmajiem, bet otrajā ar otrajiem saskaitāmajiem.
Šī determinantu īpašība ir spēkā arī tajā gadījumā, kad kādas rindas (kolonnas) katrs elements ir nevis divu, bet vairāku saskaitāmo summa.
Secinājumi, kuri izriet no determinantu īpašībām
1.Determinants, kurā kādas divas rindas (kolonnas) vienādas, ir vienāds ar nulli.
2.Ja determinanta vienas rindas (kolonnas) elementi ir proporcionāli otras rindas (kolonnas) elementiem, tad determinants ir vienāds ar nulli.
3.Ja pie kādas determinantu rindas (kolonnas) elementiem pieskaita atbilstošos citas rindas (kolonnas) elementus, vai arī pieskaita tādus skaitļus, kas tiem ir proporcionāli, tad determinanta vērtība nemainās.…

Author's comment

1. Lineārā algebra 3 1.1. Determinanti 3 1.2.Matricas 6 1.3. Lineāras vienādojumu sistēmas 9 1.3.1. Krāmera formulas 9 1.3.2. Matricu metode 10 1.3.3. Gausa metode 11 1.3.4. Pielietojuma piemēri ekonomikā 12 1.4. Pielietojuma piemēri ekonomikā 12 1.4.1. Matricu saskaitīšanu un reizināšanu ar skaitli 13 1.4.2. Matricu reizināšana 13 1.4.3. Lineāru vienādojumu sistēmu atrisināšana 14 2. Ievads matemātikas analīzē 16 2.1. Funkcijas 16 2.1.1. Funkcijas jēdziens, definīcijas apgabals 16 2.1.2. Elementāro funkciju grafiki 18 2.1.3. Grafiku pārveidojumi 21 2.1.4. Pielietojuma piemēri ekonomikā 24 2.2. Robežas 26 2.2.1. Robežas jēdziens 26 2.2.2. Vienkāršākie robežu aprēķināšanas gadījumi 28 2.2.3. Bezgalīgi mazi lielumi, bezgalīgi lieli lielumi 31 2.2.4. Vienpusējās robežas 32 2.2.5. Funkciju nepārtrauktība 34 3. Funkcijas atvasinājums. 37 3.1. Jēdziens par funkcijas atvasinājumu. 37 3.1.1. Atvasinājuma definīcija. 37 3.1.2. Atvasināšanas likumi un formulas. 38 3.2.Funkcijas atvasinājums. 45 3.2.1. Saliktas funkcijas atvasinājums. 45 3.2.2. Augstāku kārtu atvasinājumi. 47 3.2.3. Funkcijas pieaugums un diferenciālis. 48 3.2.4. Lopitāla likums. 51 3.3. Atvasinājuma pielietojumi funkcijas pētīšanā. 53 3.3.1. Augšanas, dilšanas intervāli un ekstrēmi. 53 3.3.2. Funkcijas mazākā un lielākā vērtība slēgtā intervālā. 56 3.3.3. Ieliektības, izliektības intervāli un pārliekuma punkti. 57 3.3.4. Funkcijas grafika asimptotes. 59 3.3.5. Funkcijas pētīšanas shēma un grafika skice. 61 3.4. Atvasinājuma ekonomiskā interpretācija. 63 3.4.1. Marginālie lielumi. 63 3.4.2. Funkcijas elastība. 68 4.DIFERENCIĀlrĒĶini. 72 4.1. Jēdziens par nenoteikto integrāli. 72 4.1.1. Primitīvā funkcija. 72 4.1.2. Likumi un formulas. 73 4.2. Integrēšanas metodes. 79 4.2.1. Substitūciju metode. 79 4.2.2. Parciālā integrēšana. 85 4.3. Nenoteiktā integrāļa ekonomiskā interpretācija. 87 4.3.1. Ražošanas izmaksu funkcija. 87 4.3.2. Realizācijas ieņēmumu funkcija. 88 4.3.3. Peļņas funkcija. 89 4.4. Jēdziens par noteikto integrāli. 90 4.4.1. Definīcija un īpašības. 90 4.4.2. Ņūtona – Leibnica formula. 91 4.4.3. Neīstie integrāļi. 93 4.5. Noteiktā integrāļa pielietojumi. 96 4.5.1. Plaknes figūras laukuma aprēķināšana. 96 4.5.2. Pielietojumi ekonomikā. 101 5. Divargumentu funkcijas. 106 5.1 Definīcija un definīcijas apgabals. 106 5.2. Parciālie atvasinājumi un pilnais diferenciālis. 108 5.3. Divargumentu funkcijas ekstrēmi. 114

Summaries, Notes

Sciences

Math

Augstākā matemātika