N-tās pakāpes polinoms ar vienu mainīgo

Dekarta teorēma. Pozitīvo reālo sakņu skaits ir vienāds ar polinoma koeficientu sistēmas zīmju maiņas skaitu vai ir mazāks par to pāra skaita reižu.
Negatīvo sakņu skaita noteikšanai Dekarta teorēmu lieto polinomam f(-x).
Ja piemēram zīmju maiņu skaits ir 5, tad var būt 5, 3 vai 1 reāla sakne.
Šturma teorēma.Ja reālie skaitļi a un b nav f(x) saknes un a 4.Ireducibli polinomi
Polinomu f(x) ar koeficientiem no lauka P sauc par ireduciblu virs lauka P, ja to nevar sadalīt divu polinomu reizinājumā, kuriem koeficienti ir no lauka P.Pretējā gadījumā polinoms ir reducibls.
Piemēri.
f(x)=x2+1 ir irreducibls racionālo un reālo skaitļu laukos , bet reducibls komplekso skaitļu laukā, jo x2+1=(x-i)(x+i).
Teorēma. Katrs f(x) no P[x] ar pakāpi, lielāku vai vienādu ar 1, ir vai nu ireducibls vai sadalāms ireduciblu polnomu reizinājumā, pie tam vienā vienīgā veidā. Ja katram ireduciblam reizinātājam iznes pirms iekavām vecākā locekļa koeficientu un iegūtos skaitļus sareizina, iegūst polinoma sadalījumu ireduciblos reizinātājos. Ja kāds no reizinātājiem ietilpst k reizes, tad to sauc par k-kārtīgu reizinātāju.
…