Matemātiskie spriedumi, izteikumi un pierādījumi

Definīcija ir apgalvojums, kas nosaka kāda jēdziena vai objekta būtību un saturu.
Aksioma ir apgalvojums, kuru pieņem par patiesu bez pierādījuma.
Teorēma ir apgalvojums, kuru pierāda, loģiskā ceļā nonākot no nosacījuma pie slēdziena.
Par teorēmas „ja A, tad B” apgriezto teorēmu sauc teorēmu „ja B, tad A”.
Par teorēmas „ja A, tad B” pretējo teorēmu sauc teorēmu „ja ne A, tad ne B”.
Teorēmu „ja A, tad B” šādā situācijā sauc par tiešo teorēmu.
Apskatot teorēmas, matemātikā parasti tiek lietoti arī jēdzieni, kā nepieciešams nosacījums un pietiekams nosacījums.
Pieņemsim, ka dota teorēma „ja A, tad B”, kur A ir teorēmas nosacījums, bet B-teorēmas secinājums.
• Nosacījumu A sauc par secinājuma B pietiekamo nosacījumu, ja no A loģiski izriet B.

• Nosacījumu A sauc par secinājuma B nepieciešamo nosacījumu, ja no B loģiski izriet A (jeb ir spēkā tiešās teorēmas apgrieztā teorēma).

• Nosacījumu A sauc par secinājuma B pietiekamo un nepieciešamo nosacījumu, ja ir spēkā abas teorēmas „ja A, tad B” un „ja B, tad A”.
Matemātikā svarīgi izprast atšķirību starp terminiem īpašība un pazīme.
Ja ir dots noteikts matemātisks objekts vai process, tad var nosaukt un pamatot tam piemītošās īpašības.
Savukārt pazīmes ļauj izdarīt secinājumu par to, vai tas ir vai nav konkrēts objekts vai process.
…