1. Diferenciālvienādojumi ir vienādojumi, kuros nezināmais objekts ir viena vai vairāku mainīgo nepārtraukti diferencējamas funkcijas, pie kam vienādojumos noteikti ieiet šo funkciju atvasinājumi.
Pieņemsim , .
Definīcija 1.1. Par pirmās kārtas parasto diferenciālvienādojumu sauc vienādojumu
(1.1)
ja šajā vienādojumā noteikti ieiet funkcijas x atvasinājums.
Funkcijas x atvasinājumu tekstā turpmāk apzīmēsim gan , gan , gan arī, īpaši runājot par vienādojumu sistēmām vai mehānikas uzdevumiem, .
Vairumā gadījumu aplūkosim vienkāršākus I kārtas diferenciālvienādojumus
(1.2)
kur
ir plaknes apgabalā G nepārtraukta funkcija.
Diferenciālvienādojuma piemērs ir kaut vai katrs primitīvās funkcijas atrašanas uzdevums.
Definīcija 1.2. Nepārtraukti diferencējamu funkciju sauc par vienādojuma (1.2) atrisinājumu t maiņas intervālā I, ja visiem t no I:
1.;
2. .
Piemērs 1.1. a) Vienādojuma x’=1 atrisinājumus atrodam integrējot: x(t)=t+C; ;
b) ja x’=t, acīmredzot, ;
c) vienādojuma x’=x atrisinājumu integrējot atrast nevar. Ievietojot var pārliecināties, ka .
Visos šajos piemēros atrastās funkcijas apmierina vienādojumus visiem .
Kā redzams piemērā, nevienam no vienkāršajiem diferenciālvienādojumiem atrisinājums nav nosakāms viennozīmīgi, atrisinājumu saime satur patvaïīgu konstanti C. Lai noteiktu vienu diferenciālvienādojuma atrisinājumu, ir vajadzīga vēl kāda papildus informācija. Parasti I kārtas vienādojumiem norāda atrisinājuma vērtību vienā punktā: ja , pieprasām
(1.3)
(1.3.) sauc par sākuma nosacījumu vienādojumam (1.2).
Definīcija 1.3. Uzdevumu
(1.4)
sauc par Košī jeb sākuma vērtību problēmu.
Piemērā 1.1.c) Vienādojuma x’=x atrisinājumu saime ir funkcijas . Ja ir dots sākuma nosacījums x(0)=1, ievietojam , tāpēc C=1.
Definīcija 1.4. Katras Košī problēmas atrisinājumu sauc par vienādojuma (1.2) partikulāro atrisinājumu.
Definīcija 1.5. Visu vienādojuma (1.2) partikulāro atrisnājumu saimi sauc par šī vienādojuma vispārīgo atrisinājumu.
Diferenciālvienādojumu pamatkursa galvenie jautājumi ir:
1. pārbaudīt, vai Košī problēmai eksistē atrisinājums (eksistence);
2. vai atrisinājums Košī problēmai ir viens vienīgs (unitāte);
3. kādā intervālā šis atrisinājums eksistē (turpināmība);
4. analītiska atrisinājuma atrašana (risināšanas metodes);
5. tuvināta atrisinājuma atrašana ar skaitliskām metodēm;
6. atrisinājuma kvalitatīva pētīšana, ja arī tā analītiskā izteiksme nav zināma.
Atbildes uz pirmajiem trim fundamentālajiem jautājumiem ir vienkāršas, taču nebūt nav acīmredzamas un to pamatojums prasa pietiekoši smalkus matemātiskus spriedumus. Iespēja atrast atrisinājumu analītiski, diemžēl, nav likums, bet drīzāk ir izņēmuma gadījums, tāpēc bieži nākas ķerties pie tuvinātajām - skaitliskajām risināšanas mtodēm. Abos šajos jautājumos mūsdienās, protams, lieliski var palīdzēt matemātikas paketes Mathematica, Maple vai citas. Taču ir daudz jautājumu, uz kuriem principā nevar atbildēt ar skaitliskiem eksperimentiem un aprēķiniem, tāpēc nenovērtējama nozīme ir diferenciālvienādojumu kvalitatīvajai pētīšanai.
2. Vispārinājumi.
a) Ja vienādojumā ieiet meklējamās funkcijas augstāku kārtu atvasinājumi, iegūstam attiecīgi augstākas kārtas diferenciālvienādojumu.
Definīcija 1.6. Ja , , vienādojumu
(1.5)
sauc par n-tās kārtas parasto diferenciālvienādojumu.
Vispārīgāka n-tās kārtas vienādojuma forma ir vienādojumi izskatā
(1.6)
pie nosacījuma, ka vienādojumā noteikti ieiet augstākās kārtas atvasinājums . Jāatzīmē, ka vienādojumi (1.5) un (1.6) tāpat kā (1.1) un (1.2) nebūt nav ekvivalenti.
Lai fiksētu vienu noteiktu n-tās kārtas vienādojuma atrisinājumu, jāpievieno n papildus nosacījumi. Ja šie nosacījumi izvēlēti šādi
(1.7)
…
,
tos sauc par vienādojuma (1.5) sākuma nosacījumiem, bet pašu uzdevumu (1.5), (1.7) par Košī problēmu. Protams, n-tās kārtas vienādojumam nosacījumus var izvēlēties arī daudzos citos veidos.
b) Citu pirmās kārtas diferenciālvienādojuma vispārinājumu iegūstam, ja x un dotā funkcija f ir vektorfunkcijas, x=colon(x1,x2,…,xn), f=colon(f1,f2,…,fn). Pieņemsim . Šai gadījumā iegūstam n diferenciālvienādojumu sistēmu
(1.8)
Sistēma (1.8) ir līdzvērtīga vektoriālam vienādojumam .
Lemma 1.1. Diferenciālvienādojumu (1.5), piemēroti izvēloties meklējamo vektorfunkciju y, var pārvērst par diferenciālvienādojumu sistēmu formā (1.8).
Pierādījums. Definējot y1:=x, y2:=x’, y3:=x”,…,yn=x(n-1) un apzīmējot y=colon(y1,y2,…yn), iegūstam diferenciālvienādojumu sistēmu
(1.9)
Sistēma (1.9) ir sistēmas (1.8) speciāls gadījums. Šī iemesla dēļ diferenciālvienādojumu teorijā visus faktus pamato tikai sistēmām, bet (1.8) parasti sauc par n-tās kārtas sistēmu. …
