Eilera metodes pielietošana uzdevumā

Uzdevums.
Dota diferenciālvienādojumu sistēma ar sākumnosacījumiem:
1.1 Atrisināt šo sistēmu analitiski un ar vismaz divām skaitliskām metodēm atrast x(1) un y(1).
1.2 Atrisināt robežproblēmu šai diferenciālvienādojumu sistēmai, ņemot x(0)=0 un x(1)=? - no (1.1); ieteicams iepriekš pāriet uz vienu otrās kārtas duferenciālvienādojumu.
Teorētiskais pamatojums.
Risinot uzdevumu tika izmantotas šādas metodes un teorētiskie rezultāti:
Eilera metode.
Ir dota Košī problēma
Šeit x, x0, f ir vektori un pie tam tiek izdarīta diskretizācija laikā: tn={n*h: n=0,1,2,...,k} un h>0 ir solis. Šinī gadījumā vienkārša Eilera metode ir pierakstama šādi:
Eilera metodes konverģence.
3. Definīcija. Saka, ka diferenču shēmas diskrētais atrisinājums konverģē uz nepārtraukto DV sistēmas atrisinājumu, ja lokālā aproksimācijas kļūda apmierina sakarību
un K>0 sauc par konverģences kārtu (ātrumu).
4. Definīcija. Košī problēmu [2] sauc par korekti nostādītu, ja funkcija f=f(t, x) ir nepārtraukta un ierobežota apgabalā D un ja šajā apgabalā tā apmierina Lipšica nosacījumu
Pie tam šinī gadījumā pēc Pikara teorēmas dotajai Košī problēmai eksistē tikai viens atrisinājums x=x(t), kurš definēts punkta t=0 apkārtnē.
Pēc Laksa teorēmas korekti nostādītai lineārai Košī problēmai no stabilitātes (sk. 2.2) un aproksimācijas (sk. 2.3) seko konverģence. Nelineārais (vispārīgais) gadījums šeit netiks aplūkots, jo uzdevumā [1] ir lineārā Košī problēma.…