Robežu teorijas elementi

Saka, ka ir uzdota skaitliska virkne , ja katram naturālam skaitlim (numuram) atbilst viens skaitlis. Matemātiski tas nozīmē, ka skaitliska virkne ir funkcija, kuras definīcijas apgabals ir visi naturālie skaitļi. Daži virknes piemēri:
1, 1, ... ,1, ... (22)
1, 3, 5, ... , 2n-1, ... (23)
1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ... (24)
1, 10, 100, ..., 10n, ... (25)
-1, 1, -1, ..., (-1)n, ... (26)
1/2, 2/3, 3/4, ..., n/(n+1), ... (27)
Kā redzam,
virkne ir bezgalīga,
virknes elementi ar dažādiem numuriem var būt vienādi.
Virkne ir monotoni augoša, ja un ir monotono dilstoša, ja . Virknes (23), (25) un (27) ir monotoni augošas, pie tam virkne (23) ir aritmētiskā progresija, bet virkne (25) ir ģeometriskā progresija. Virkne (26) nav monotona, tā ir oscilējoša. Virkne (24) ir monotoni dilstoša.
Ja eksistē tāds galīgs skaitlis , ka visiem numuriem n ir spēkā nevienādība, tad virkni sauc par ierobežotu. Ir skaidrs, ka virkne (22) ir ierobežota, jo par nepieciešamo skaitli M var izvēlēties jebkuru skaitli, kas ir ne mazāks par 1, t.i. . Tāda pati situācija ir virknēm (24) un (26).
Virkne saucas par bezgalīgi lielu, ja katram , lai cik liels tas būtu, var atrast tādu numuru, ka , ja vien . Piemēram, virkne (25) ir bezgalīgi liela, jo vienmēr var atrast numuru tādu, ka . Pietiek ar , kas apmierina nevienādībai . Tā kā virkne ir monotoni augoša, tad arī visiem pārējiem numuriem n izpildās nepieciešamā nevienādība, ja vien . Pamēģiniet novērtēt virkni (23), vai tā ir bezgalīgi liela?…